مسألة: عجلة أعياد الميلاد
قدّاش من دورة لازم قبل ما يتعاود رقم؟ أقل بزاف من اللي يخمّنو أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة اللي في الدوّار. تتسمّى ثاني: «الفتحة»، «الكأس».اقرا كلش ←: من بعد غير 8 دورات، احتمال يكون رقم طاح زوج مرات يفوت النص. اللاعبين يقراو التكرار كأنو نمط؛ وهو غير السلوك المتوقع تاع عجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية نزيهة. قدّاش من دورة لازم حتى الاحتمالرياضياتالاحتمالقدّاش محتمل تصرا نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا كلش ← بلّي زوج دورات على الأقل يعطيو نفس الرقم يفوت النص؟ أغلب اللاعبين يخمّنو حاجة كيما 18 ولا 19، نص 37. والجواب هو 8.
الحل
احسب احتمال ما يكون حتى تكرار ونقّصو من الواحد. من بعد k دورة، p(قاع مختلفين) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). كي k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(كاين تكرار) ≈ 0.56. كي k = 14 يوصل 0.93؛ وكي k = 20 يوصل 0.996. الإحساس يغلط على خاطر عدد أزواج الدورات يكبر كيما k²، وأي زوج يقدر يتطابق.
علاش هذا مهم على الطاولة
لوحة النتائج اللي فيها آخر 20 رقم تقريبًا ديمًا تبيّن تكرار واحد على الأقل، وبزاف المرات زوج ولا ثلاثة. اللاعبين يشوفو «17 طاح زوج مرات في عشرة دورات» ويقولو 17 سخون؛ أما حساب عيد الميلاد فيقول بلّي التكرار في عشرة دورات يصرى في 74% من المرات، والرقم اللي تعاود عشوائي. النمط حقيقي؛ أما المعنى لا.
المسألة اللي تجي من بعد
قدّاش من دورة لازم حتى رقم معيّن، مثلًا 17، يطيح زوج مرات؟ هذا سؤال آخر والجواب تاعو أكبر بزاف: الانتظار المتوقع هو 74 دورة، واحتمال 17 يطيح زوج مرات في 20 دورة حوالي 10%. الفرق بين «كاين رقم يتعاود» (8 دورات) و«هذا الرقم يتعاود» (74 دورة) هو الفرق كامل بين نمط تلاحظو من بعد وتوقّع تديرو من قبل.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشرة دورات وشوف السجل. غالبًا يكون كاين تكرار. عاودها. الرقم اللي تعاود يكون مختلف. دير هذا عشرة المرات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادقدّاش يلزم من واحد باش يولّي محتمل بلّي زوج عندهم نفس نهار الميلاد، ولا قدّاش يلزم من دورة باش يولّي محتمل بلّي رقم يتعاود. في عجلة تاع 37 خانة، 8 دورات يكفيو باش الاحتمال يفوت النص.اقرا كلش ←؛ ديرو ألف مرة (المحاكيات يقدرو) وتكون قستها.
الصيغة
الأسئلة
بالضبط، غير بـ37 خانة في بلاصة 365 يوم. 23 واحد يعطيو 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات يعطيو 56% على العجلة.
50% من بعد حوالي 19 دورة. هادي ثاني حاجة عادية.
لا. آلاف الدورات من عجلة وحدة يقدرو يدلّو عليه؛ أما التكرار عمرو ما يدلّ عليه.
نتسلّاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم وحدك قبل. كل حل مطوي؛ افتحو كي تكون واجد.
لوحة نتائج جنب عجلة أمريكية تبيّن آخر 16 دورة. قدّاش الاحتمال بلي حتى رقم ما يبان فيها زوج مرات؟
بيّن الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: قريب 39 لوحة من 40 يبان فيها على الأقل رقم معاود.
روح دورة بدورة. الدورة الأولى تقدر تكون أي حاجة. الثانية لازم ما تطيحش عليها: 37 احتمال من 38. الثالثة لازم ما تطيحش على الزوج: 36 من 38. الدورة السطاش لازم ما تطيحش على خمسطاش رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي ما فيها حتى رقم معاود هي النادرة. لوحة فيها رقم معاود ما تقول والو على العجلة.
في عشرة دورات تاع عجلة أوروبية، قدّاش احتمال يخرج 17 خمسة مرات بالضبط؟ وبلي رقم ما، أي رقم، يخرج خمسة مرات ولا كثر؟ وبلي رقم ما يخرج على الأقل ثلاثة مرات في ربعة دورات؟
بيّن الحل
الجواب 17 خمسة مرات بالضبط: 1 من 315,576. رقم ما خمسة مرات ولا كثر: تقريبًا 1 من 8,333. رقم ما ثلاثة مرات ولا كثر في ربعة دورات: 1 من 349.
17 خمسة مرات: اختار أشمن خمسة دورات من العشرة، 252 طريقة، كل وحدة باحتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. في المجموع، 1 من 315,576.
رقم ما: كل رقم من الـ37 عندو احتمال 1 من 308,325 يخرج خمسة مرات ولا كثر، وهذا يعطي 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة تاع زوج أرقام كل واحد خرج خمسة مرات تتحسب زوج مرات، بصح كي تنحّيها ما يتبدّل والو بهذي الدقة.
ثلاثة مرات في ربعة دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ لأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
في عجلة بزوج أصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطّيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. يتسمّى ثاني: الصفر الواحد، 0.اقرا كلش ←، الأرقام المقابلة هي 1 من 359,275، 1 من 9,243 و1 من 368. الفرق بين «17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادقدّاش يلزم من واحد باش يولّي محتمل بلّي زوج عندهم نفس نهار الميلاد، ولا قدّاش يلزم من دورة باش يولّي محتمل بلّي رقم يتعاود. في عجلة تاع 37 خانة، 8 دورات يكفيو باش الاحتمال يفوت النص.اقرا كلش ← مرة أخرى: كاين 37 طريقة باش تتفاجأ.
استراحة تاع ضحك
كاين حاجة تتعاود بكري. وهديك الحاجة عشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة على الروليت.