مسألة: الحدّ تاع الطاولة
مارتينغال بـ$10 على طاولة الحدّ تاعها $500. قدّاش من مرة يتكسّر، قدّاش يخسر كي يتكسّر، وواش تطليع الحدّ ينفع؟
ستة خسارات وحدة ورا وحدة يكسّروه: 1.8% في كل حلقة، وحوالي 60% من الجلسات تاع 100 دورة. الكسرة تكلّف $630. إذا طلّعت الحدّ لـ$5,000 الكسرة تولّي أندر (0.25% في كل حلقة) وأكبر ($5,110). الخسارة المتوقعة على كل دولار مراهن بيه هي 2.70% مع أي حدّ.
المسألة
لاعب يراهن بـ$10 على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الـ18 رقم الحمرين. بالفرنسية: rouge.اقرا كلش ← ويضاعف من بعد كل خسارة، ويرجع للبداية من بعد كل ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) قدّاش من خسارة متتابعة تكسّر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تبدّل مبلغ الرهان على حساب النتائج اللي فاتو. التدرّجات السلبية يزيدوه من بعد الخسارة، والإيجابية من بعد الربح.اقرا كلش ←؟ (b) واش هو الاحتمالرياضياتالاحتمالقدّاش محتمل تصرا نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا كلش ← في كل حلقة؟ (c) قدّاش يتخسر كي يتكسّر؟ (d) كيفاش حدّ تاع $5,000 يبدّل الأجوبة؟ (e) واش كاين حدّ يخلّي النظام رابح؟
الحلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع يكون 640 > 500، يعني ستة خسارات يكسّروه. (b) p(الخسارة) = 19/37 على لحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني حوالي 1.8% في كل حلقة. الحلقة تدوم حوالي زوج دورات في المعدل، يعني جلسة تاع 100 دورة فيها حوالي 50 حلقة، وp(كسرة وحدة على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةالمبلغ الأساسي تاع الرهان اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات يتوصفو بالوحدات باش يصلحو في أي طاولة.اقرا كلش ← أساسية، مقابل الـ$10 اللي كانت الحلقة تحاول تربحها.
الحل (d)
مع $5,000: مبالغ الرهان حتى 2,560 مسموحة؛ والرهان العاشر، 5,120، يترفض. تسعة خسارات يكسّروه: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، يعني حوالي 11% من الجلسات تاع 100 دورة. الخسارة كي يتكسّر: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب شرى كارثة أندر بسومة كارثة أكبر. على بزاف جلسات، التكلفة المتوقعة تاع الكسرات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في كل حلقة مع حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 مع $5,000؛ الزوج قراب من بعضاهم بصح ماشي متساويين، وكل واحد فيهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في المبلغ كامل اللي راهنت بيه؛ يعني قدّاش تخسر في المعدل في جلسة ولا في مدّة.اقرا كلش ← تاع الحلقة زايد الـ$10 اللي يربحوها الحلقات الرابحة.
الحل (e)
لا. الخسارة المتوقعة في كل حلقة = (مجموع مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، مع أي حدّ، على خاطر كل رهان هو −1/37 منو. الحدّ غير يقرّر كيفاش تتوزّع الخسارة بين بزاف أرباح صغار وشوية خسائر كبار. بلا حدّ ومع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وتسيير رأس المال هو كي تقرر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا كلش ← ما عندوش نهاية، التدرّج كان «يخدم»، بمعنى بلّي عمرو ما يتكسّر، بصح كان يراهن بمبلغ ما عندوش حدّ بخسارة متوقعة تاع 2.70% من هذاك المبلغ اللي ما عندوش حدّ. ماشي حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحدّ الأدنى والحدّ الأقصى المسموح بيهم في الرهان. والحدّ الأقصى هو اللي يحبس تدرّجات المضاعفة.اقرا كلش ← هو اللي يمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف واش يدير وواش ما يديرش.اقرا كلش ← من أنو يخدم. الحساب هو اللي يمنعو.
زوج طاولات حقيقية
المثال تاع ثورب هو طاولة بـ$1 والحدّ الأقصى تاعها $1,000، وين لاعب يحب يربح $30 باش يتعشى، دولار بدولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 يسمحو بعشرة رهانات، يعني عشرة خسارات وحدة ورا وحدة يكسّرو التدرّج: مرة في 785 حلقة على العجلة الأوروبية (مرة في 613 على الأمريكية)، بتكلفة تاع $1,023. الثلاثين حلقة قاع ينجحو في 96.2% من المرات. أما الـ3.8% الباقيين فيخسرو حوالي $1,000، ومعدل نتيجة السهرة هو −$9.17، وهذا بالضبط 1/37 من الـ$339 اللي يراهنو بيهم الثلاثين حلقة في المعدل. وطاولة بـ$5 والحدّ الأقصى تاعها $2,000 ما فيها حتى فرق: مبالغ الرهان حتى $1,280 يسمحو بتسعة رهانات، والكسرة تجي مرة في 403 حلقة على العجلة الأوروبية (مرة في 323 على الأمريكية) وتكلّف $2,555.
لاعب شبعان دراهم
عطي للتدرّج رأس مال كبير في بلاصة حدّ قصير: 1,000 وحدة، ورهان أساسي تاع وحدة وحدة، و1,000 دورة على لحمر، وترجع لوحدة وحدة كل مرة المضاعفة الجاية تكون كثر من واش بقى. درنا محاكاة لمليون سهرة كيما هادي. على العجلة الأوروبية 52% يكمّلو رابحين، 21% يخسرو كلش، ومعدل النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطّيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. يتسمّى ثاني: الصفر الواحد، 0.اقرا كلش ←، وين كل رهان عادل، غير حوالي 60% يكمّلو رابحين. السهرة العادية ربح صغير؛ والمعدل يخلّصوه السهرات اللي تكمّل في الصفر.
واش نتعلمو
الكازينوهات يحطّو الحدود باش يحدّو التباينرياضياتالتباينمقياس تاع قدّاش النتائج يتفرّقو على القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وهابط في رهانات الدفع المتساوي.اقرا كلش ← تاعهم هوما، ماشي باش يغلبو الأنظمة. الغلبة على مارتينغال غير نتيجة جانبية فرحانين بيها، والحساب كان يغلبو على كل حال. اللاعب اللي يظن بلّي الحدّ هو المشكل، لقى وين راهي الحافة وحسبها هي الطلعة.
الصيغة
الأسئلة
يخلّيك تصمد حتى حدّ أعلى، وين الكسرة تكون أندر وأكبر. الخسارة المتوقعة على كل دولار ما تتبدّلش.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: توصل لحدّ $500 من بعد خمسة خسارات، والكسرة تكلّف $570. نفس 2.70%.
باش حتى لاعب ما يقدر يراهن بكثر من واش يقدر الاحتياطي تاع الكازينو يخلّصو بلا مشكل. إدارة التباين.
نتسلّاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم وحدك قبل. كل حل مطوي؛ افتحو كي تكون واجد.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف واش يدير وواش ما يديرش.اقرا كلش ← يبدا بـ$100 على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الـ18 رقم الحمرين. بالفرنسية: rouge.اقرا كلش ← وما يسمح لروحو غير بـn رهان في كل حلقة على الأكثر: من بعد n خسارة متتالية يحبس ويعاود من الأول. اكتب النتيجة المتوسطة تاع حلقة وحدة كصيغة بدلالة n، واحسبها لـ5، 6 و7 رهانات في عجلة أوروبية.
بيّن الحل
الجواب المعدل هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. كي تسمح برهانات أكثر الحلقة المتوسطة تولّي أسوأ، ماشي أحسن.
الحلقة تربح $100 ماعدا كي يخسرو الرهانات n قاع، وهذا يصرى باحتمال qⁿ، وين q = 19/37. كي يخسرو قاع، المبالغ 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). إذن المعدل هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، شوية أكثر من 1، إذن (2q)ⁿ تكبر مع n والمعدل يطيح: n = 5 تعطي 1.1426 يعني −$14.26؛ n = 6 تعطي 1.1735 يعني −$17.35؛ n = 7 تعطي 1.2052 يعني −$20.52. السلّم الأطول يخسر في مرات أقل، في 3.6%، 1.8% و0.9% من الحلقات، بصح كل خسارة أكبر بزوج مرات، ودراهم أكثر تفوت على الطاولة في كل حلقة، بـ2.70% من كل رهان.
في عجلة أمريكية 2q = 40/38 والأرقام هي −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). في لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطّيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. يتسمّى ثاني: الصفر الواحد، 0.اقرا كلش ← 2q = 1، وكل حلقة معدلها صفر بالضبط مهما كان طول السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان من بعد الخسارة ويزيد وحدةالمالالوحدةالمبلغ الأساسي تاع الرهان اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات يتوصفو بالوحدات باش يصلحو في أي طاولة.اقرا كلش ←، إذن المبالغ تمشي 1، 3، 7، 15، 31 … قدّاش تكون رابح كي يجي الربح الأول في الرهان الأول، الثاني، الثالث ولا الرهان رقم k؟ بوحدة تاع $10 وحدّ أقصى $500، قدّاش من مرة تنكسر الحلقة، وقدّاش تكلّف الحلقة في المعدل؟
بيّن الحل
الجواب الربح في الرهان رقم k يخلّيك رابح k وحدة: +1، +2، +3 وهكذا. بـ$10 و$500 الحلقة تنكسر من بعد خمس خسائر، 3.57% من الحلقات، والخسارة −$570. في المعدل الحلقة تخسر $2.32 من $85.73 مراهَن بيهم: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. أول k − 1 مبالغ مجموعهم 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. الربح في الرهان رقم k يخلّص 2ᵏ − 1، إذن الحلقة تكمل ونتا رابح (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة على كل خسارة قبل الربح.
بـ$10 للوحدة المبالغ هي $10، $30، $70، $150 و$310؛ اللي من بعد، $630، فوق الحدّ الأقصى $500. خمس خسائر متتالية، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المعدل: الأرباح تجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 مع k = 1 حتى 5، والانكسار ياخذ $570 باحتمال 3.57%؛ مع بعض −$2.32. الدراهم المراهَن بيها معدلها $85.73 في الحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. مارتينغال العادي في نفس الطاولة ينكسر من بعد ست خسائر، 1.83% من الحلقات، والخسارة −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 مراهَن بيهم: 2.70% مرة أخرى.
لاعب يخطط لمارتينغال على لحمر بأول رهان $1 في طاولة الحدّ تاعها $1,000، إذن عشرة رهانات ممكنة: $1، $2، $4 وهكذا حتى $512. قدّاش من مرة الحلقة تخسر العشرة قاع، قدّاش يدّي هذا من وقت في المعدل، وقدّاش من مرة سهرة تاع 200 رهان تكمل هكذا؟
بيّن الحل
الجواب الحلقة تخسر العشرة قاع تقريبًا مرة في 784، وهذا يكلّف $1,023. هذا تقريبًا 1,600 رهان في المعدل، وسهرة تاع 200 رهان تضرب الحيط تقريبًا 11% من المرات. الحلقة مازالت تخسر $0.31 في المعدل من $11.31 مراهَن بيهم: 2.70%.
الرهان على لحمر يخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. عشرة متتالية: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، تقريبًا 1 من 784. المبالغ 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة تدّي 2.05 رهان في المعدل، إذن 784 حلقة تدّي تقريبًا 1,600 رهان. كي نحسبو دورة بدورة، سلسلة تاع عشرة خسائر تطيح في بلاصة ما في 200 رهان 11.3% من المرات.
بين الكوارث اللاعب يربح $1 في الحلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، ومن بعد −$1,023، تقريبًا −$240 على الفترة كاملة. في الحلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. الدراهم المراهَن بيها في الحلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. وفي اللخر: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن مع أول رهان $10 في حدّ $500، ستة رهانات: الحيط يجي مرة في 55 حلقة، وسهرة تاع 200 رهان تلقاه 84% من المرات. الحدّ الأعلى يخلّي الانهيار أندر وأكبر، ماشي أرخص.
استراحة تاع ضحك
أندر وأكبر، مع كل حدّ. والجداء تاعهم ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.