خطر الإفلاس
احتمال باش تخسر رأس مال اللعب كامل قبل ما توصل للهدف.
في رهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس يمشي بصيغة إفلاس المقامر. برأس مال تاع $500، ورهانات تاع $10، وهدف تاع $600، توصل للهدف تقريبًا في 57% من المرات وتفلّس في الباقي.
واش هو السؤال
عندك a وحداتالمالالوحدةالمبلغ الأساسي تاع الرهان اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات يتوصفو بالوحدات باش يصلحو في أي طاولة.اقرا كلش ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وتسيير رأس المال هو كي تقرر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا كلش ← وتحب توصل لـa + b وحدة، وانتا تراهن بوحدة في كل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويلحمر/لكحل، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، يخلّص 1:1.اقرا كلش ← واحتمالرياضياتالاحتمالقدّاش محتمل تصرا نتيجة، من 0 حتى 1 ولا من 0% حتى 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا كلش ← الربح p = 18/37 واحتمال الخسارة q = 19/37. قدّاش هو احتمال باش توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب لقاوه باسكال وفيرما وهويغنز في سنوات 1650، وهو من أقدم النتائج في علم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(توصل للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال تخسر رأس مال اللعب كامل قبل ما توصل لهدف ولا لعدد دورات.اقرا كلش ← هو واحد ناقص هذا. مع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة تكبر بشكل أُسّي مع عدد الوحدات، وعلى هذا الصيغة تعاقب الوحدات الصغار بزاف: كل ما تحتاج رهانات كثر باش توصل للهدف، كل ما تخلّص ضريبة 2.70% مرات كثر في الطريق.
كيفاش تقراها
الوحدات الصغار يضرّو. إذا حبيت تضاعف $500 برهانات تاع $10، تنجح غير في 6% من المرات؛ وبرهان واحد تاع $500 تنجح في 48.6%. اللعب الجريء، يعني رهانات قلال وكبار، يطلّع لأقصى حدّ احتمال باش توصل للهدف في لعبة القيمة المتوقعة تاعها سالبة، على خاطر ينقّص لأدنى حدّ عدد المرات اللي تتطبّق فيها الميزة. بصح ثاني يطلّع لأقصى حدّ التباينرياضياتالتباينمقياس تاع قدّاش النتائج يتفرّقو على القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وهابط في رهانات الدفع المتساوي.اقرا كلش ← تاع واش راح يصرالك، ويكمّل العشية بالزربة. المبرهنة يسمّوها «اللعب الجريء هو الأحسن»، وبرهنوها دوبينز وسافيدج في 1965.
منين بدات المسألة
السؤال أقدم من الروليت. في 1656 عطى باسكال لفيرما لغز: زوج لاعبين يرميو ثلاثة زهرات، وكل واحد يبدا بـ12 قطعة عدّ؛ رمية مجموعها 11 تحرّك قطعة لجهة، ورمية مجموعها 14 تحرّكها للجهة الأخرى. الزوج حلّوها، وهويغنز، اللي سمع بيها من برية من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشرها في 1657 كيما المسألة الخامسة في أول كتاب على الاحتمالات، مع الجواب وبلا برهان. الحداش تجي بـ27 طريقة والربعطاش غير بـ15، يعني كل قطعة تمشي لجهة اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، تخلّي احتمال باش يربح كلش تقريبًا 1,157 مرة كثر من احتمال باش يخسر كلش. ميزة تاع 2.70% صغيرة بزاف، بصح نفس الصيغة تبيّن واش تدير على طول بزاف رهانات.
رهان جريء بالصح
في أفريل 2004، آشلي ريفيل (Ashley Revell)، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كلش اللي عندو، حتى حوايجو، وهزّ $135,300 لكازينو Plaza في لاس فيغاس. من بعد شي رهانات صغار، حطّ المبلغ كامل على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الـ18 رقم الحمرين. بالفرنسية: rouge.اقرا كلش ←، مرة وحدة. الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيرة اللي تترمى في المسار بالعكس تاع الدوّار. الكورات الجديدة من الإيفورين ولا التيفلون، من 18 حتى 21 مم.اقرا كلش ← طاحت في 7 لحمر وخرج بـ$270,600. على عجلة بزوج أصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطّيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. يتسمّى ثاني: الصفر الواحد، 0.اقرا كلش ←، هديك الدورة الوحدة كان عندها احتمال 47.37% وكلّفتو في المعدل $7,121، يعني ميزة 5.26% على رهان واحد. لوكان فرّق نفس الهدف على رهانات تاع $10، كان تقريبًا ما كانش أمل. اللعب الجريء ما يخلّيش الرهان مليح؛ غير يخلّيه قصير على قدّ ما يمكن.
خطر الإفلاس بلا هدف
إذا كنت غير تلعب حتى تفلّس ولا تحبس من بعد N دورة، السؤال يولّي «قدّاش هو احتمال باش رأس المال تاعي يوصل للصفر في N دورة؟». ما كانش صيغة مغلقة لأي N، بصح المحاكيات في هذا الموقع يحسبوه: رأس مال تاع $500 برهانات تاع $10 على لحمر تقريبًا عمرو ما يفلّس في 100 دورة (أقل من 1%)، يفلّس تقريبًا في 9% من المرات في 500 دورة، وتقريبًا في 95% في 5,000. وبلا قاعدة باش تحبس، الاحتمال يروح لـ100%، وهادي هي صورة ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالجزء من كل رهان اللي يخلّيه الكازينو عندو في المعدل: 2.70% في الروليت الأوروبي.اقرا كلش ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
قدّاش يدوم، وقدّاش تقدر تزيد
زوج نتائج كلاسيكية أخرى يجاوبو على أسئلة يسقسيوها اللاعبين بالصح. بلا هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة تدوم في المعدل 37 دورة على كل وحدة من رأس مال اللعب في العجلة الأوروبية و19 في الأمريكية، على خاطر كل دورة تدّي 1/37 من الوحدة في المعدل (1/19 في العجلة الأمريكية): 100 وحدة تدوم 3,700 دورة في المعدل، مع بلي نص هادو الجلسات يكمّلو قبل 3,134 (شوف مدّة الجلسة وتكلفتها). وكيفما كان رأس المال كبير، احتمال في العجلة الأوروبية باش تكون نهار ما زايد بـk وحدة هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة و58% لعشرة، بصح حتى رأس مال، كيفما كان كبير، ما يعطيك فرصة نص نص باش تكون نهار ما زايد بـ13 وحدة؛ وفي العجلة الأمريكية الاحتمال هو (9/10)ᵏ ويطيح تحت النص في 7 وحدات.
رأس المال اللي يلزمك باش يكون عندك نص نص
اقلب السؤال: قدّاش لازم تجيب معاك باش يكون عندك على الأقل نص نص باش تربح مبلغ قبل ما تخسر كلش؟ لربح صغير، ماشي بزاف. ولربح كبير، رأس المال اللي يلزمك يطلع بالزربة، ومن بعد حدّ ما حتى رأس مال ما يكفي، على خاطر حتى رأس مال اللي ما يكملش يعطي أقل من نص نص باش تكون نهار ما زايد بهذاك القدّ. تايلور (2021) يقولها بطريقة أخرى: في العجلة الأمريكية، باش يكون عندك نص نص توصل لـ100 وحدة لازم تبدا بـ94، يعني تخاطر بـ94 باش تربح 6. وفي العجلة الأوروبية يلزمك 88.
الدرس في التطبيق
قرّر واش تحب تدير. إذا كان الهدف ربح معيّن، راهن كبير وقليل. إذا كان الهدف عشية طويلة، راهن صغير واقبل بلي الميزة راح تدّي 2.70% تاعها من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ كامل اللي تراهن بيه في جلسة ولا في مدّة، مع الأرباح اللي عاودت راهنت بيهم. يتسمّى ثاني: handle، action.اقرا كلش ← كبير. وإذا كان الهدف الزوج، لازم حاجة تطيح، وعادةً هو الهدف.
الصيغة
الأسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان من بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف واش يدير وواش ما يديرش.اقرا كلش ← ينقّصو في الجلسات القصيرة ويطلّعو بزاف في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتتراهن بنفس المبلغ في كل دورة. هو المرجع اللي يتقارن بيه كل تدرّج.اقرا كلش ← بوحدة كبيرة هو الطريقة النقية باش تنقّصو.
الصيغة اللي فوق تاع الدفع المتساوي. في الرهانات اللي فيها تباين كبير، الإفلاس محتمل كثر بمبالغ رهان صغار، والهدف يتوصل بطريقة متقطّعة كثر؛ خدم بالحاسبة.
كل خطوة للهدف محتملة شوية أقل من كل خطوة للإفلاس؛ والنسبة تتراكم على عدد الخطوات.
نتسلّاو بالرياضيات
جرّب تحلّهم وحدك قبل. كل حل مطوي؛ افتحو كي تكون واجد.
عندك $100 وتحب توصل $1,000، وما تراهن غير على لحمررهانلحمررهان الدفع المتساوي على الـ18 رقم الحمرين. بالفرنسية: rouge.اقرا كلش ←. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 في كل مرة. الخطة الثانية: تراهن بكلش اللي عندك حتى تفوت $500، ومن بعد غير بالقدر اللي يوصّلك لـ$1,000. أشمن خطة خير، وبقدّاش؟
بيّن الحل
الجواب الخطة الثانية، وبالبعيد. توصل $1,000 تقريبًا 9.0% من المرات، قريب من الـ10% العادلة. الخطة الأولى تنجح تقريبًا 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة حتى طرف فيها ما عندو ميزة: القيمة المتوقعة تاع كل رهان صفر.اقرا كلش ← توصل $1,000 من $100 مرة من عشرة واش ما درت، على خاطر القيمة المتوسطة تاع دراهمك تبقى $100.
الميزة تاخذ 2.70% من كل رهان، إذن كل ما تراهن أقل في المجموع، كل ما تبقى قريب من مرة من عشرة. الخطة الثانية تحسم الأمر في شوية رهانات: $100 تولّي $200، $400، $800، ومن بعد $200 تكفي. تنجح تقريبًا 9.0% من المرات. الخطة الأولى تحتاج آلاف الرهانات قبل ما تكمل المشية، والميزة، الصغيرة في كل واحد منهم، تتجمع وتعطي إفلاس شبه مؤكد.
هادي هي نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط شكل (إبستين، 2013): في لعبة في صالح الكازينو، راهن بالقدر اللي تحتاجو، وبأقل عدد مرات تقدر.
عندك $500 وتحب $1,000، وتحبس أول ما توصلها. تختار نوع واحد من الرهانات وتعاودو حتى يربح مرة وحدة ولا تكمل الدراهم. أشمن نوع يعطيك أحسن احتمال؟
بيّن الحل
الجواب رهان واحد بـ$500 على لحمر: 48.6%. كل خطة تفرّق الدراهم على رهانات صغار تعطي أقل.
اختار كل مبلغ رهان بحيث ربح واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، يخلّص 35:1.اقرا كلش ← يربح $1,050، $60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينزوج أرقام حدا بعضاهم، يخلّص 17:1.اقرا كلش ← يربح $1,020، وهكذا. ومن بعد احسب الاحتمال بلي على الأقل رهان واحد يربح قبل ما تكمل الدراهم. سطّاش رهان على رقم واحد بـ$30 يخسرو قاع باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، إذن يوصلو $1,000 في 35.5% من المرات.
الجدول يبيّن كل رهان. لحمر هو الأحسن على خاطر يوصل في رهان واحد، إذن الميزة تتخلّص مرة وحدة، على $500. رهان الصفينرهانرهان الصفينستة أرقام في زوج صفوف حدا بعضاهم، يخلّص 5:1. بالفرنسية: sixain.اقرا كلش ← يجي الثاني على خاطر يحتاج غير ثلاثة. رهان واحد على الدزينةرهانالدزينة1–12 ولا 13–24 ولا 25–36، يخلّص 2:1.اقرا كلش ← هو الأسوأ، احتمالو 12/37؛ وحتى كي تلعبو بوحداتالمالالوحدةالمبلغ الأساسي تاع الرهان اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات يتوصفو بالوحدات باش يصلحو في أي طاولة.اقرا كلش ← تاع $250 حتى توصل $1,000 ولا كثر، الدزينة توصل غير 46.4% من المرات.
بولمان (2024) يبني نفس الجدول لعجلة أمريكية. سطر الدزينة عندو فيه غلطة: لازم يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال الوصول لـ$1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%لحمر$500 × 148.6%تراهن بوحدة على لحمر، دورة ورا دورة، ورأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وتسيير رأس المال هو كي تقرر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا كلش ← تاعك عمرو ما يكمل. من بعد الدورة الأولى تكون رابح وحدة ولا خاسر وحدة. واش هو الاحتمال بلي ترجع يومًا ما متعادل بالضبط؟
بيّن الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. في عجلة أمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
إذا ربحت الدورة الأولى (18 مرة من 37)، تكون رابح وحدة، والميزة تجبد كل جلسة بلا نهاية للتحت، إذن عاجلًا ولا آجلًا تفوت من جديد على التعادل: هذا مؤكد. إذا خسرتها (19 مرة من 37)، لازم تطلع وحدة، والاحتمال بلي تكون يومًا ما رابح وحدة هو 18/19 (شوف الجدول اللي فوق).
مع بعض: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
بشكل عام الاحتمال هو 1 ناقص الفرق بين احتمال الربح واحتمال الخسارة في الدورة: 1 − 1/37 في عجلة أوروبية، 1 − 2/38 في عجلة أمريكية. في لعبة بلا صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطّيها حتى رهان دفع متساوي، دزينة ولا عمود؛ ومنها جات ميزة الكازينو. يتسمّى ثاني: الصفر الواحد، 0.اقرا كلش ← الفرق هو والو والاحتمال 1: النتيجة ديمًا ترجع للتعادل. إبستين (2013) يعطي القاعدة العامة.
لغز باسكال تاع 1656: زوج لاعبين يرميو ثلاث نردات، كل واحد يبدا بـ12 علامة. كل 11 تنقل علامة للاعب الأول، كل 14 تنقل وحدة للثاني؛ الرميات الأخرى ما تتحسبش. قدّاش احتمال اللاعب الأول يربح الـ24 قاع؟ وإذا، بلاصة هذا، تراهن بـ1 وحدة على لحمر في كل دورة ضد صاحبك اللي يلعب دور البنك، 12 وحدة لكل واحد، قدّاش احتمالك تربح الـ24 قاع؟
بيّن الحل
الجواب اللاعب الأول يربح تقريبًا 1,157 مرة من 1,158. نتا، على لحمر، ما تربح الـ24 وحدة قاع غير تقريبًا 34% من المرات.
ثلاث نردات يعطيو 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، إذن كل علامة تتنقل تروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. كي كل جهة تبدا بـ12، احتمال تاخذ كلش هو 1/(1 + r¹²)، وين r هي النسبة بين احتمال الجهة الأخرى واحتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، إذن الاحتمال تقريبًا 0.99914: احتمالات 9¹² مقابل 5¹²، يعني 282,429,536,481 مقابل 244,140,625، تقريبًا 1,157 مقابل 1. هويغنز طبع هادو الأرقام بالضبط في 1657.
على لحمر، r = 19/18 على خاطر الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: احتمالك هو 1/2.913 ≈ 34.3%. قطعة نقدية تعطي 50%. الميزة تاع 2.70% على كل رهان تتجمع، على الرهانات الكثيرة اللي يحتاجها، وتولّي فرق تاع 16 نقطة.
استراحة تاع ضحك
اللعب الجريء هو الأحسن. وثاني يكمل بالزربة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”